Bài làm của tôi trong PSW_1

PSW 1 Comment

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. Với M thuộc miền tứ giác ABCD, MG cắt mặt bên của hình chóp tại N. Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
Q = \dfrac{MG}{NG}+\dfrac{NG}{MG}

Giả sử O là giao điểm 2 đường chéo hình bình hành ABCD

MO cắt AD,CD lần lượt tại E và F ; MG cắt SF tại N là giao của MG và mặt bên của hình chóp

+) GTNN:

Áp dụng bất đẳng thức cauchy: Q=\dfrac{MG}{GN}+\dfrac{NG}{MG}\geq 2\sqrt{\dfrac{MG}{GN}.\dfrac{NG}{MG}}=2

Vậy Q đạt GTNN khi \dfrac{MG}{GN}=\dfrac{NG}{MG} hay MG=GN

Tam giác SEF: ta kẻ từ N đường thẳng song song với EF cắt SO tại K

Ta có: \dfrac{KG}{GO}=\dfrac{GN}{MG}=1\Rightarrow SK=KG=GO=\dfrac{1}{3}SO\Rightarrow \dfrac{KN}{OF}=\dfrac{SK}{SO}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow KN=\dfrac{OF}{3}

Vậy M là tập hợp những điểm nằm trên cạnh hình bình hành A’B’C’D’ có các cạnh song song với các cạnh của hình bình hành ABCD và có cạnh bằng \dfrac{1}{3} hình bình hành ABCD

+) GTLN

Giả sử tam giác SEF cố định (1)

Điểm M chạy trên EF ta tìm GTLN của Q

Tam giác MNF: kẻ từ G đường thẳng song song với SF cắt OF tại H và từ G kẻ đường thẳng song song với SE cắt OE tại U

\Rightarrow Q=\dfrac{MG}{NG}+\dfrac{GN}{MG}=\dfrac{MH}{HF}+\dfrac{HF}{MH}(2)

Ta lại có: \dfrac{HF}{OF}=\dfrac{SG}{GO}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow HF=\dfrac{2OF}{3}=a( không đổi)

\Rightarrow OH=OU=\dfrac{a}{2}

Ta luôn có: MH\geq OH=\dfrac{a}{2}(do M ở cùng phía với OE còn nếu ở cùng phía với OF thì ngược lại);MH\leq EH=2a

\Rightarrow \dfrac{a}{2}\leq MH\leq 2a(3)

\Rightarrow \dfrac{a}{2}\leq \dfrac{MH}{a}+\dfrac{a}{MH}

Đặt MH=x, xét hàm số f(x)=\dfrac{x}{a}+\dfrac{a}{x}\Rightarrow f(x)=\dfrac{1}{a}-\dfrac{a}{x^{2}}=\dfrac{(x^{2}-a^{2})}{ax^{2}}

Từ 3 ta được:

Nếu a<x\leq 2a\Rightarrow f(x)>0 \Rightarrow f(x)đồng biến f(x)\leq f(2a)=\dfrac{3}{2}

Nếu \dfrac{a}{2}\leq x\leq a\Rightarrow f(x)<0 (nghịch biến) \Rightarrow f(x)\leq f(\dfrac{a}{2})=\dfrac{3}{2}

Vậy Q đạt GTLN khi MH đạt GTLN =\dfrac{3}{2} khi M trùng E hoặc trùng O

Chứng minh tương tự cho giả thiết tam giác SEF quay quanh cạnh SO ta đều được GTLN là \dfrac{3}{2}

Vậy tập hợp các điểm M để Q đạt GTLN là các điểm nằm trên cạnh hình bình hành ABCD và trùng với tâm O của ABCD với GTLN của Q là \dfrac{3}{2}

🙂

One thought on “Bài làm của tôi trong PSW_1”

Leave a comment