BÀI LÀM CỦA TÔI TRONG PSW_4

Cho tam giác ABC có M thuộc miền trong của tam giác. Các đường thẳng AM;BM;CM cắt đường tròn (ABC) tại A′,B′,C′. Gọi r và r′ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và A′B′C′, còn R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chứng minh rằng:

Lời giải:

Ta có: 

Ta có BĐT sau:

Áp dụng tương tự cho tam giác A’B’C’

(đpcm)

BÀI LÀM CỦA TÔI TRONG PSW_3

Cho n là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

Lời giải:

Đặt: 

+) Đối với : Dùng phép biến đổi tương đương, ta chứng minh được:

với 

với

Trong đó . Vậy ;

Từ đó  đạt  khi hoặc

++) Đối với : Dùng phép biến đổi tương đương, ta chứng minh được:

, với 

, với

Vậy:

Tứ đó suy ra đạt  khi  

BÀI LÀM CỦA TÔI TRONG PSW_2

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác A.Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm Dvà E sao cho BD=BE=BA. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N.
a) Chứng minh rằng tứ giác BDNE nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau.

 Lời giải:

a) Xét  và  có:

chung

(g.g)

mà BD=BA

mà  chung

(1)

Lại có  cân (BD=BE)

(2)

Từ (1) và (2) 

Vậy tứ giác BDNE nội tiếp đường tròn

b) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE

Lại có:

(3)

Xét (O) ta có:

(4)

Từ (3) và (4) 

N,O,O’ thẳng hàng

Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và (O) tiếp xúc nhau

🙂

Bài làm của tôi trong PSW_1

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. Với M thuộc miền tứ giác ABCD, MG cắt mặt bên của hình chóp tại N. Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

Giả sử O là giao điểm 2 đường chéo hình bình hành ABCD

MO cắt AD,CD lần lượt tại E và F ; MG cắt SF tại N là giao của MG và mặt bên của hình chóp

+) GTNN:

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:

Vậy Q đạt GTNN khi  hay MG=GN

Tam giác SEF: ta kẻ từ N đường thẳng song song với EF cắt SO tại K

Ta có: 

Vậy M là tập hợp những điểm nằm trên cạnh hình bình hành A’B’C’D’ có các cạnh song song với các cạnh của hình bình hành ABCD và có cạnh bằng  hình bình hành ABCD

+) GTLN

Giả sử tam giác SEF cố định (1)

Điểm M chạy trên EF ta tìm GTLN của Q

Tam giác MNF: kẻ từ G đường thẳng song song với SF cắt OF tại H và từ G kẻ đường thẳng song song với SE cắt OE tại U

Ta lại có: ( không đổi)

Ta luôn có: (do M ở cùng phía với OE còn nếu ở cùng phía với OF thì ngược lại);

Đặt MH=x, xét hàm số f(x)=

Từ 3 ta được:

Nếu đồng biến

Nếu  (nghịch biến) 

Vậy Q đạt GTLN khi MH đạt GTLN = khi M trùng E hoặc trùng O

Chứng minh tương tự cho giả thiết tam giác SEF quay quanh cạnh SO ta đều được GTLN là

Vậy tập hợp các điểm M để Q đạt GTLN là các điểm nằm trên cạnh hình bình hành ABCD và trùng với tâm O của ABCD với GTLN của Q là

🙂